La reina es la pieza más poderosa del tablero de ajedrez. A diferencia de cualquier otro (incluido el rey), puede moverse cualquier cantidad de casillas vertical, horizontal o diagonalmente.

hora considere el gambito de esta dama: si coloca ocho de ellos en un tablero estándar de ocho cuadrados por ocho cuadrados, ¿de cuántas maneras se pueden colocar para que ninguno ataque al otro? Resulta que hay 92. Pero, ¿qué sucede si coloca una cantidad aún mayor de reinas en un tablero de ajedrez del mismo tamaño relativo, por ejemplo, 1000 reinas en un tablero de ajedrez de 1000 por 1000 cuadrados, o incluso un millón de reinas en un tablero de tamaño similar? 

La versión original del problema matemático de n-reinas apareció por primera vez en una revista alemana de ajedrez en 1848 como el problema de las ocho reinas, y la respuesta correcta surgió un par de años después. Luego, en 1869, surgió la versión más amplia del problema y permaneció sin respuesta hasta fines del año pasado, cuando un matemático de Harvard proporcionó una respuesta casi definitiva.

Michael Simkin, un becario postdoctoral en el Centro de Ciencias y Aplicaciones Matemáticas, calculó que hay alrededor de (0.143n)n formas en que las reinas pueden colocarse para que ninguna se ataque entre sí en tableros de ajedrez gigantes n-by-n.

La ecuación final de Simkin no proporciona la respuesta exacta, sino que simplemente dice que esta cifra es lo más cercana al número real que puede obtener en este momento. La cifra de 0,143, que representa un nivel medio de incertidumbre en el posible resultado de la variable, se multiplica por lo que sea n y luego se eleva a la potencia de n para obtener la respuesta.

En el tablero de ajedrez extremadamente grande con un millón de reinas, por ejemplo, 0,143 se multiplicaría por un millón, lo que daría como resultado unas 143.000. Esa cifra se elevaría entonces a la potencia de un millón, lo que significa que se multiplica por sí misma un millón de veces. La respuesta final es una cifra con cinco millones de dígitos.

Simkin dice que personalmente es un pésimo jugador de ajedrez, pero que busca mejorar su juego. “Supongo que las matemáticas son más indulgentes”.

Simkin pudo llegar a la ecuación al comprender el patrón subyacente de cómo se tendría que distribuir un gran número de reinas en estos enormes tableros de ajedrez, ya sea que se concentraran en el medio o en los bordes, y luego aplicar el conocido técnicas y algoritmos matemáticos.

"Si me dijera que quiero que coloque sus reinas de tal y tal manera en el tablero, entonces podría analizar el algoritmo y decirle cuántas soluciones hay que cumplen con esta restricción", dijo Simkin.  “En términos formales, reduce el problema a un problema de optimización”.

Al centrarse en los espacios que tienen mayores posibilidades de ser ocupados, Simkin calculó cuántas reinas habría en cada sección del tablero y ideó una fórmula para obtener un número válido de configuraciones. Los cálculos dieron como resultado lo que se conoce como el límite inferior: el número mínimo de configuraciones posibles.

Una vez que tuvo ese número, Simkin usó una estrategia conocida como el método de la entropía para encontrar el límite superior, que es el mayor número de configuraciones posibles.

Simkin encontró que la respuesta del límite inferior coincide casi perfectamente con la respuesta del límite superior. En pocas palabras, mostró que la respuesta exacta se encuentra en algún lugar entre los dos límites en un espacio matemático relativamente pequeño.

Simkin ha estado trabajando en el problema de las n -reinas durante casi cinco años. Dice que personalmente es un pésimo jugador de ajedrez, pero que busca mejorar su juego. “Todavía disfruto el desafío de jugar, pero supongo que las matemáticas son más indulgentes”, dijo Simkin, quien se interesó en el problema por cómo podría aplicar los avances del campo de las matemáticas en el que trabaja llamado combinatoria, que se enfoca en conteo y problemas de selección y arreglos.

Trabajar en el problema ha sido una prueba de paciencia y resiliencia. Hace cuatro años como Ph.D. estudiante de la Universidad Hebrea de Jerusalén, visitó al matemático y genio del ajedrez Zur Luria en el Instituto Federal Suizo de Tecnología en Zúrich. La pareja colaboró ??y desarrolló nuevas técnicas para llegar a una respuesta. Al final, después de dos años de trabajo, solo encontraron una mejor cifra de límite inferior y supieron que les faltaba algo.

Simkin terminó su doctorado. en 2020 y se mudó a Boston para comenzar a trabajar en Harvard. El problema siempre estuvo en el fondo de su mente, y volvió a él cuando se dio cuenta de que tenía que empezar a centrarse en los espacios donde estarían las reinas en lugar de darle el mismo peso a cada espacio.

Aunque teóricamente es posible acercarse un poco más a una respuesta aún más exacta, Simkin por ahora está feliz de dejar que alguien más lo haga.

“Creo que personalmente puedo terminar con el problema de las n -reinas por un tiempo, no porque no haya nada más que hacer con él, sino porque he estado soñando con el ajedrez y estoy listo para seguir adelante. con mi vida”, dijo.

Referencia: "El número de configuraciones de n-reinas" por Michael Simkin, 19 de agosto de 2021, Matemáticas > Combinatoria .
arXiv:2107.13460