Nacido el 26 de enero de 1935 en Reikiavik, su padre le enseñó ajedrez a los ocho años. Su primer gran éxito nacional llegó a los 17 años, cuando ganó el campeonato islandés de ajedrez en 1952. Este sería el primero de seis títulos nacionales (1952, 1953, 1957, 1961, 1962 y 1969). Al año siguiente, Olafsson se proclamó Campeón de Escandinavia y también ganó una medalla de bronce en el Campeonato Mundial Juvenil.

Saltó a la fama internacional en el Congreso de Ajedrez de Hastings de 1955-56, donde compartió el primer puesto con Viktor Korchnoi. Llegó tarde y sin reserva de hotel, por lo que pasó su primera noche en una celda de la comisaría de Hastings, por cortesía de un agente comprensivo.

Olafsson se clasificó para el ciclo de Campeonatos Mundiales de 1958-60, quedando quinto en el Interzonal de Portorož, lo que le valió el título de Gran Maestro -el primer islandés en conseguirlo- y una plaza en el Torneo de Candidatos de 1959.

Fue el punto álgido de su carrera. Jugando en la élite, derrotó a Bobby Fischer, Tigran Petrosian y Mikhail Tal -cada uno en dos ocasiones- y se situó entre los mejores del mundo. En el torneo de Candidatos de 1959, celebrado en Yugoslavia, derrotó a Tigran Petrosian ante 5.000 espectadores, que, según Harry Golombek, lo celebraron cargándolo a hombros.

En 1976, Olafsson compartió el primer puesto con Ljubomir Ljubojevic en el prestigioso torneo de Wijk aan Zee. Fue subcampeón en 1971, compartiendo el segundo puesto con Gligoric, Petrosian e Ivkov. Olafsson representó a Islandia en ocho Olimpiadas de Ajedrez entre 1952 y 1980.

En 1980, mientras ocupaba el cargo de Presidente de la FIDE, Olafsson derrotó al vigente Campeón del Mundo, Anatoly Karpov, en el Torneo Clarín de Buenos Aires. La victoria le valió el ingreso en el llamado «Club Mikhail Chigorin», formado por jugadores que vencen a un campeón del mundo en activo pero nunca llegan a serlo.

Aunque Fridrik Olafsson nunca consiguió el título de Campeón del Mundo de Ajedrez, subió con frecuencia a lo más alto de los podios del ajedrez mundial, no como jugador, sino como Presidente de la FIDE. En 1978, en el Congreso de Buenos Aires, derrotó a Narciso Rabell Méndez y Svetozar Gligori? para convertirse en el cuarto presidente del organismo rector del ajedrez mundial, sucediendo a Max Euwe.

Durante su mandato como Presidente, Olafsson se centró en conseguir más patrocinio comercial para la FIDE y en mejorar las relaciones entre los soviéticos y el resto del mundo del ajedrez. También supervisó el controvertido match por el Campeonato del Mundo de 1981 entre Viktor Korchnoi y Karpov.

En las elecciones de 1982, Olafsson perdió frente a Florencio Campomanes.

Aunque más conocido por sus logros ajedrecísticos, Olafsson se formó profesionalmente en derecho. Antes de la FIDE, trabajó en el Ministerio de Justicia islandés. Posteriormente, fue Secretario General del Parlamento islandés.

En enero celebró su 90 cumpleaños, en el que estuvo acompañado por el Presidente en activo de la FIDE, Arkady Dvorkovich.

Olafsson será recordado como el hombre que puso a Islandia en el mapa mundial del ajedrez -mucho antes del match Fischer-Spassky de 1972- y ayudó a la FIDE a crecer en estatura durante una época crucial.